Расчет балки на прогиб нужно проводить практически для любой конструкции, чтобы проверить ее надежность и прочность. Под влиянием внешних, внутренних факторов, природных явлений балка подвержена деформации.
Балку сравнивают со стержнем, закрепленным на опорах. Чем больше опор, тем сложнее провести расчет самостоятельно. Основная нагрузка считается путем сложения сил, перпендикулярно направленных к сечению.
Данный расчет – основы сопромата, помогает определить наивысшую деформацию. Значения показателей должны входить в рамки допустимых величин.
Виды балок
При возведении зданий используется балки разных конфигураций, размеров, профиля, характера сечения. Их изготавливают из металла и дерева. Для любого вида используемого материала нужен индивидуальный расчёт изгиба.
Виды балок:
- Деревянные
— их используют в основном при строительстве индивидуальных построек. Они применяются при возведении полов, потолков, несущих перекрытий. Дерево – капризный материал и подвержено деформации. Для определения максимального изгиба, существенны такие параметры: используемый профиль, размер, нагрузка, характер поперечного сечения.
- Металлические
— такие балки изготавливают из сплава металлов и сечение у них сложное. Поэтому особое внимание уделяется жесткости, а также прочности соединений. Балки из металла применяются в возведении многоэтажек, сооружений, требующих высокой прочности.
Информация
Балка занимает роль основополагающего элемента в несущей конструкции. Её функция приравнивается к стержню всей конструкции, который прочно закрепили. При строительстве какого-либо сооружения очень важно осуществить грамотный расчет балки на прогиб и исключить допущение ошибки в расчетах. Прежде всего расчет требуется для определения того, на сколько балка деформируется в процессе эксплуатации сооружения. Если при расчете показатель деформации находится в пределах нормы, то можно определить нужные показатели будущей балки (сечение, материал, размер и так далее).
Делая расчет балки на прочность, необходимо четко знать виды материала, из которого изготавливаются балки (сталь, дерево, бетон, алюминий, стекло и медь). Далее нужно обратить внимание на то, что типы нагрузок, как и их схемы также различаются. Так, например, распределенная нагрузка означает, что давление оказывается не на одну точку, а распределено по всей площади балки. Сосредоточенный тип нагрузки характеризует направленность давления на один небольшой участок (точку) балки.
Прочность и жесткость балки
При проектировании следует учесть изгиб балок, чтобы конструкция была надежная, качественная, прочная и практичная.
На эти параметры влияют следующие факторы:
- величина наружных нагрузок, их положение;
- параметры, характер, нахождение поперечного сечения;
- продольные величины;
- материал;
- число опор, метод их закрепления.
Выделяют 2 метода исчисления: простой – применяется увеличительный коэффициент, и точный – дополнительно включает пограничные подсчеты.
Что такое прогиб балки?
Под действием внешней нагрузки поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Кроме того, сечения поворачиваются на определенный угол. Эти две величины, для любого сечения, можно определить с помощью метода начальных параметров.
ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.
Расчет прогибов необходим для выполнения расчета на жесткость. Балка может считаться жесткой, только если расчётные значения прогибов не превышают допустимых значений. Если же условие жесткости не выполняется, то принимаются меры по ее повышению. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.
Расчет на жесткость
Алгоритм исчисления:
В формуле обозначены:
- M – max момент, возникающий в брусе;
- Wn,min – момент сопротивления сечения (табличный показатель);
- Ry – сопротивление на изгиб (расчётный показатель);
- γc – показатель условий труда (табличный показатель).
Такой расчет не трудоемок, но для более верного значения требуется следующее:
- рабочий план объекта;
- определение характеристик балки, характер сечения;
- определение max нагрузки, воздействующей на брус;
- оценка точки max прогиба;
- проверка прочности max изгибающего момента.
Метод начальных параметров
Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод, можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине).
Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:
- в опорах прогибы равны нулю;
- в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.
Учитывая эти свойства, их называют еще граничными условиями, определяются перемещения в других частях балки.
Расчет на прогиб и его особенности
Он необходим для всех перекрытий при высоких эксплуатационных нагрузках.
При применении соответствующих коэффициентов, придерживаются следующего:
- балка, держащаяся на одной жесткой и одной шарнирной опоре, подвергающаяся воздействию сосредоточенной нагрузки;
- балка, держащаяся на жесткой и шарнирной опоре, подвергающаяся воздействию распределенной нагрузки;
- нагрузка консольного типа;
- воздействие комплексной нагрузки.
Расчет прогибов балки
Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:
Реакции опор
Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.
Если ты не знаешь, как определять реакции, то рекомендую изучить данный материал, где я как раз рассказываю, как они определяются на примере этой же балки:
Система координат
Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):
Распределенная нагрузка
Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.
Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:
То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:
Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.
Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим сечение в середине пролета – сечение C:
Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:
\[ { V }_{ A }=0\quad при\quad x=0 \]
\[ { V }_{ B }=0\quad при\quad x=8м \]
Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=… \]
Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+ … \]
Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала, из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+… \]
Учет внешней нагрузки
И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:
- Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направлены вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направлены вниз, соответственно, со знаком «минус»:
- Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:
- Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:
\[ M\cdot \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \]
- Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:
\[ F\cdot \frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } \]
- Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:
\[ q\cdot \frac { { x }^{ 4 } }{ 24 } \]
Откуда такие цифры и степени взялись? Все эти вещи вытекают при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии балки, в методе начальных параметров все эти выводы опускаются, то есть он является как бы упрощенным и универсальным методом.
Формулы прогибов
С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } \]
В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.
Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ B }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+\frac { { R }_{ A }\cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot 6^{ 4 } }{ 24 } +\frac { q\cdot 2^{ 4 } }{ 24 } =0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+874.67=0 \]
Выражаем угол поворота:
\[ { \theta }_{ A }=-\frac { 874.67 }{ 8E{ I }_{ z } } =-\frac { 109.33кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ z } } \]
Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:
\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=\frac { -109.33\cdot 4E{ I }_{ z } }{ E{ I }_{ z } } +\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } =-\frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } \]
Калькулятор
| Пример расчета |
Калькуляторы по теме:
- Сбор нагрузок на балки перекрытия онлайн
- Расчет прямоугольной трубы
- Расчет квадратной трубы
- Расчет швеллера
- Расчет уголка
- Расчет деревянной балки
- Расчет двутавра на устойчивость.
Инструкция к калькулятору
Исходные данные
Условия эксплуатации:
Длина пролета (L) — расстояние между двумя внутренними гранями стен. Другими словами, пролет, который перекрывают рассчитываемые балки.
Шаг балок (Р) — шаг по центру балок, через который они укладываются.
Вид перекрытия — в случае, если на последнем этаже Вы жить не будете, и он не будет сильно захламляться милыми Вашему сердцу вещами, то выбирается «Чердачное», в остальных случаях — «Междуэтажное».
Длина стены (Х) — длина стены, на которую опираются балки.
Характеристики балки:
Длина балки (А) — самый большой размер балки.
Вес 1 п.м. — данный параметр используется как бы во втором этапе (после того, как Вы уже подобрали нужную балку).
Расчетное сопротивление Ry — данный параметр зависит от марки стали. Например, если марка стали:
- С235 — Ry = 230 МПа;
- С255 — Ry = 250 МПа;
- С345 — Ry = 335 МПа;
Но обычно в расчете используется Ry = 210 МПа для того, чтобы обезопасить себя от разного рода «форс-мажерных» ситуаций. Все-таки в России живем — привезут металлопрокат из стали не той марки и все…
Модуль упругости Е — этот параметр зависит от вида металла. Для самых распространенных его значение равно:
- сталь — Е = 200 000 МПа;
- алюминий — Е = 70 000 МПа.
Нагрузка:
Значения нормативной и расчетной нагрузок указываются после их сбора на перекрытие.
Цена за 1 т — стоимость 1 тонны металлопроката.
